Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），（x1＜x2），证明： ＜k＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则 ．

由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a﹣3=0

∴a=1

（2）解：解：函数g（x）的定义域为（0，+∞）．

由（1）得

令g′（x）=0得x= 或x=1．

∴函数故（x）在（0， ），（1，+∞）上单调递增，在（ ，1）单调递减．

故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2

（3）证明：依题意得 = ，

∴lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，

令h（x）=lnx﹣kx，则h′（x）= ，

由h′（x）=0得 ，当x＞ 时，h′（x）＜0，当0＜x＜ 时，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+∞）单调递减，

又h（x1）=h（x2），

∴ ，即 ＜k＜

【解析】（1）求导函数，利用由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴，可得：g′（1）=0，即可求a的值；（2）确定函数的单调性，即可求函数g（x）的极小值；（3）表示出直线的斜率，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．