Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）是否存在常数λ，使得{an+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an ， 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，

当n=2时，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，

当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21

（2）解：假设{an+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），

即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．

下面证明{an+λ}为等比数列：

∵Sn=2an﹣3n，∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，

∴an+1=Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an﹣3，

即2an+3=an+1，∴2（an+3）=an+1+3，

∴ =2，

∴{an+3}是首项为a1+3=6，公比为2的等比数列．

∴an+3=6×2n﹣1，

∴an=6×2n﹣1﹣3．

【解析】1、由题意可知，代入题目的已知公式推导可得。
2、由假设法可得，假设{an+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．根据前n项和公式推导出{an+3}是首项为a1+3=6，公比为2的等比数列。
【考点精析】掌握数列的定义和表示和等比关系的确定是解答本题的根本，需要知道数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断．