【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:函数有且仅有一个零点;
(Ⅲ)当时,写出函数的零点的个数.(只需写出结论)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)当时, 有一个零点;当且时, 有两个零点.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求得函数的导函数,得到, ,进而得到切线的方程.
(Ⅱ)当时,求得函数的导数,得,则为单调递增函数,又由,进而得到在单调递减,在单调递增,所以函数的最小值为,即可证明结论;
(Ⅲ)根据函数的单调性和极值,可得当和且时时, 零点的个数.
试题解析:
(Ⅰ)因为函数,所以
故, , 曲线在处的切线方程为
(Ⅱ)当时,令,则
故是上的增函数.
由,故当时, ,当时, .
即当时, ,当时, .
故在单调递减,在单调递增.
函数的最小值为,由,故有且仅有一个零点.
(Ⅲ)当时, 有一个零点;当且时, 有两个零点.
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【题目】如图1, 在直角梯形中, , , , 为线段的中点. 将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示.
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司为推广线下分店,计划在市的区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数, 表示这个分店的年收入之和.
(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(百万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(Ⅰ)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合与的关系,求关于的线性回归方程;
(Ⅱ)假设该公司在区获得的总年利润(单位:百万元)与之间的关系为,请结合(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司应在区开设多少个分店,才能使区平均每个分店的年利润最大?
参考公式:
, , .
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【题目】近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2017年双11全天交易额达到1682亿元,为规范和评估该行业的情况,相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行评价,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)完成关于商品和服务评价的列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全为好评的次数为随机变量:
①求对商品和服务全为好评的次数的分布列;
②求的数学期望和方差.
附:临界值表:
的观测值: (其中)
关于商品和服务评价的列联表:
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【题目】(2017·黄冈质检)设等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,前n项和为Sn.若对任意的n∈N*,有S2n<3Sn,则q的取值范围是( )
A. (0,1] B. (0,2)
C. [1,2) D. (0, )
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【题目】某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
(1)能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关?
(附:
当时,有的把握说事件与有关;当,认为事件与是无关的)
(2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有名男同学, , , , , 名女同学, , .现从这名男同学和名女同学中各随机选人,求被选中且未被选中的概率.
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