Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，若0＜x＜1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）解不等式f（x）-f（x-1）≥2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根据定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根据已知中定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法（定义法）我们即可得到f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f（

y

x

）=f（y）-f（x），
设x₁＞x₂＞0，f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

•x1)-f(x1)
=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)
=f(

x2

x1

)
又x₁＞x₂＞0，
∴0＜

x2

x1

＜1，f(

x2

x1

)＜0
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；（10分）
（3）∵f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2
由f（x）-f（x-1）≥f（4）
从而得到

x＞0 4x-4＞0 x≥4x-4

，
解得x∈(1，

4

3

]

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是将f（xy）=f（x）+f（y），变型为f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

•x1)-f(x1)；（3）的关键是由f（x）-f（x-1）≥f（4）得到

x＞0 4x-4＞0 x≥4x-4