Question

已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意，x=y=1，可求得f（1），再令x=y=-1，可求得f（-1）的值；
（Ⅱ）利用赋值法（令y=-1）可得到f（-x）与f（x）的关系，从而可判断函数的奇偶性．

解答：解：（I）定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分
（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），…12分
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数…13分

点评：本题考查函数的值与函数奇偶性的判断，着重考查赋值法的灵活运用，考查观察与分析问题、解决问题的能力，属于中档题．