Question

【题目】圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点.现将由此形成的互补重叠的圆内区域的个数记为.

（1）.直接画图求出，，，，；

（2）.确定的表达式.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）由下图可得，，，，

由前4个数值我们会猜测，但否定了这个猜测.

（2）一般地，我们将所求区域分成两部分，一部分是个弓形，另一部分是多边形内被对角线分成的区域．为叙述方便，我们将这些区域称为内区，而对角线交点（下图中）称为结点.

考虑的情况（否则无结点，失去一般性）设多边形的内区中有个三角形，个四边形，，个边形，则边形的内区有（个）.

从而，.

可见关键是求出来，分3步进行，

（i）先计算各内区顶点总和的表达式.首先.

由于多边形内每一个结点与多边形的4个顶点一一对应（如上图中，与，，，对应），故结点共有个，且每一内点对应着4个区域.而多边形的每一个顶点可引出条对角线，都是个三角形的公共点，因此，又可表示为，

即. ①

（ii）再计算各内区内角总和的表达式.首先

由于每一个内点都含有一个周角，总和为.而边形的每一个顶点上各角之和为，又有

对比的两种表达式得

. ②

（iii）求出，进而得出.

由①-②得

.

从而，.

这个式子也可以表示为

. ③

若约定，则的通项公式可用上述任一表达式.由于，

所以，③与④的前5项相同，时，猜想就不对了.