Question

【题目】已知抛物线与二次曲线有4个不同的交点，由下面的草图可以看出，下面三个结论是成立的，请给出证明.

（1）.两曲线的4个交点中，至少有两个交点位于轴的下方；

（2）.抛物线必与轴有两个不同的交点，记为，，；

（3）.两曲线的4个交点中，必存在一点，使.

注.对、、的不同取值会有无数个图形，此处仅就，各给出一个示意图，同时也就限制“由图看出”的解答.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析

【解析】

（1）.联立方程组

.

消去，得

解得，.

则两曲线的4个交点中，至少有两个交点的纵坐标为负数（是小于0的，并且也有可能小于0），这两点位于轴的下方.

（2）由上证知，四个交点中有纵坐标为的，取其中一个为，代入抛物线方程得. ①

两边乘以后，配方得

.

则.

这表明，二次方程

②

的判别式大于0，从而有两个不相等的实根，记为， ，得抛物线与轴交于两点，.

（3）由、是方程②的两个根知

. ③

又由①有.

把③代入，得，即.