【题目】在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:
(1)取出的3个球中红球的个数的分布列;
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)优先表示随机变量可能的取值,显然该事件服从超几何分布,由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列;
(2)事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为,“恰好取出个红球和个黑球”为事件,“恰好取出个红球”为事件,“恰好取出个红球”为事件,再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率,最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案.
(1)题意知的所有可能取值为,,,,且服从参数为,, 的超几何分布,
因此 .
所以 ,
,
,
.
故 的分布列为 :
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件,“恰好取出个红球和个黑球”为事件,“恰好取出个红球”为事件,“恰好取出个红球”为事件,
由于事件,,彼此互斥,且,
而,,,
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为:
.
答:取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1,中,点M是棱BC的中点.
(2)求证:A1C∥平面AB1M;
(2)如果AB=AC,求证AM⊥平面BCC1B1.
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是( )
A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名
C.恰有两支球队并列第一名的概率为D.只有一支球队名列第一名的概率为
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【题目】已知抛物线与二次曲线有4个不同的交点,由下面的草图可以看出,下面三个结论是成立的,请给出证明.
(1).两曲线的4个交点中,至少有两个交点位于轴的下方;
(2).抛物线必与轴有两个不同的交点,记为,,;
(3).两曲线的4个交点中,必存在一点,使.
注.对、、的不同取值会有无数个图形,此处仅就,各给出一个示意图,同时也就限制“由图看出”的解答.
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【题目】已知斜率为1的直线与椭圆交于,两点,且线段的中点为,椭圆的上顶点为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆交于两点,若直线与的斜率之和为2,证明:过定点.
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【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表:
售出水量x(单位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(单位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(Ⅰ) 若x与y成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元?
(Ⅱ) 期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生考入年级前200名,获一等奖学金500元;考入年级201—500 名,获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为.
⑴在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率;
⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。
附: , 。
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【题目】已知抛物线y2=2px的焦点为F,准线方程是x=﹣1.
(I)求此抛物线的方程;
(Ⅱ)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求△OFM的面积.
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