Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(2)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）由为奇函数可知， ，即可得解；

（2）由递增可知在上为减函数，对于任意实数，不妨设，化简判断正负即可证得；

（3）不等式，等价于，即，原问题转化为在上有解，求解的最大值即可.

试题解析

解：(1)由为奇函数可知， ，解得.

(2)由递增可知在上为减函数，

证明：对于任意实数，不妨设，

∵递增，且，∴，∴，

∴，故在上为减函数.

(3)关于的不等式，

等价于，即，

因为，所以，

原问题转化为在上有解，

∵在区间上为减函数，

∴， 的值域为，

∴，解得，

∴的取值范围是.

点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.