【题目】已知函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）判断
的奇偶性；
（3）方程
是否有实根？如果有实根
，请求出一个长度为
的区间
，使
；如果没有，请说明理由（注：区间
的长度
）
【答案】（1）定义域为(－1,1)；（2）见解析；（3）
.
【解析】【试题分析】（1）根据对数真数为正数，求得函数的定义域为
.（2）利用奇偶性的定义判断出
，故函数为奇函数.（3）将原方程等价变形为
，构造函数
，利用二分法可判断出函数的根在区间
.
【试题解析】
(1)∵
∴－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1,1)．
∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称
∴f(x)为奇函数．
(3)由题意知方程f(x)＝x＋1等价于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化为(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.
设g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，
则g
＝
×2
－－1＝
＜0，
g(0)＝2－1＝1＞0，
∴gg(0)＜0，故方程在
上必有实根．
又∵g
＝
×2
－
－1＝
＝
＞0，
∴gg＜0，
故方在
上必有实根．
又∵区间长度－－＝，
∴满足题意的一个区间为.
超能学典应用题题卡系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点
是圆
内一点，直线
.
（1）若圆
的弦
恰好被点
平分，求弦
所在直线的方程；
（2）若过点
作圆
的两条互相垂直的弦
，求四边形
的面积的最大值；
（3）若
， 
是
上的动点，过
作圆
的两条切线，切点分别为
.证明：直线
过定点.
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【题目】已知二次函数
满足
，且
的最小值是
.
（1）求
的解析式；
（2）若关于
的方程
在区间
上有唯一实数根，求实数
的取值范围；
（3）函数
，对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 
（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 
cos（θ﹣ 
）．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
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【题目】若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．
(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；
(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；
(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）
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【题目】命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围．
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【题目】设函数
，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①
的最小正周期为
；②
在区间
上单调递增；③
取得最大值的
的集合为
④将
的图像向左平移
个单位，得到一个奇函数的图像
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