[题目]设为一个56元集合.求最小的正整数.使得对集合的任意15个子集.只要它们中间任何七个的并的元素个数均不少于.则这15个子集中一定存在三个集合.使得它们的交集非空. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设为一个56元集合.求最小的正整数，使得对集合的任意15个子集，只要它们中间任何七个的并的元素个数均不少于，则这15个子集中一定存在三个集合，使得它们的交集非空.

【答案】41

【解析】

构造15个子集

，

则，，

，.

于是，这15个子集中任何三个中必有两个是组，或者必有两个是组，三者交集均为空集.

现分析其中任何七个子集的元素个数.

任取其中七个子集，，…，及，，…，，其中，.则

故满足题设的正整数.

下面用反证法证明：满足题设.

假设存在集合的某15个子集，，…，.尽管其中任何七个子集的并集不少于41个元素，但其中任何三个子集的交集均为空集，从而，每个元素至多属于两个子集.

分两种情形讨论.

（1）集合的每个元素均恰属于，，…，中两个子集.

由抽屉原理，知必有一个子集（不妨设为）中至少含有（表示不超过实数的最大整数）个元素.由，，…，组成的所有七元子集组，至少共对应个元素.

另一方面，对任一元素，若，则，，…，中只有两个子集含有，于是，被计算的次数为；若，则，，…，中只有一个子集含有，于是，被计算的次数为.

故

，即，矛盾.

（2）集合可能存在一些元素至多属于子集，，…，中一个子集.

在不含这些元素的子集中各找一个添入这些元素，直至集合的每个元素均恰含于子集，，…，中两个子集.于是，改造过的子集，，…，中的任意三个的交仍然为空集.此时，该情形已化为（1），从而，也是矛盾的.

总之，对于集合的任意15个子集，只要它们中任何七个的并的元素个数均不少于41，则这15个子集中就一定存在三个交集非空的集合.

综上，满足题设的最小正整数.

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