【题目】已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列
的前
项和是
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列
的前n项和
【答案】(1)an=2n-1;(2)Tn=(n-1)2n+1.
【解析】
(1)由点(1,2)在图像上求出
,再利用
法求出
。
(2)利用错位相减法求和,注意相减时项的符号,求和时项数的确定。
(1)把点(1,2)代入函数f(x)=ax得a=2,
所以数列{an}的前n项和为Sn=f(n)-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,对n=1时也适合,
∴an=2n-1.
(2)由a=2,bn=logaan+1得bn=n,
所以anbn=n·2n-1.
Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
2Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
由①-②得:-Tn=20+21+22+…+2n-1-n·2n,
所以Tn=(n-1)2n+1.
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【题目】1998年,某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后有一个超历史最高水位的洪峰到达,为保万无一失,指挥部决定在24小时内筑起一道堤坝作为第二防线.经计算,其工程量除动用现有军民连续奋战外,还需要20台大型翻斗车同时作业24小时.但是,除了第一辆车可以立即调入工作外,其余车辆需从各单位紧急抽调,每隔20分钟有一辆车到达投入作业,已知指挥部最多能组织到25辆车.问24小时内能否完成第二防线工程?说明理由.
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【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,写出函数
的单调区间;(直接写出答案,不必写出证明过程)
(2)当时,求函数
的零点;
(3)当时,求函数
在
上的最小值.
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【题目】某城市地铁项目正在紧张建设中,通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后,地铁的发车时间间隔(单位:分钟)满足
.经测算,地铁载客量与发车时间间隔
相关,当
时地铁为满载状态,载客量为
人,当
时,载客量会减少,减少的人数与
的平方成正比,且发车时间间隔为
分钟时的载客量为
人,记地铁载客量为
.
(1)求的表达式,并求当发车时间间隔为
分钟时,地铁的载客量;
(2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?每分钟的最大净收益为多少?
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【题目】某工厂为了对本工厂工人的理论成绩与实践能力进行分析,决定从本工厂工人中随机抽取一个样本容量为7的样本进行分析.如果随机抽取的7名工人的理论成绩与实践能力值单位:分
对应如下表:
工人序号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
理论成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
实践能力值 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
(1)求这7名工人的理论成绩与实践能力值
的中位数、极差;
(2)若规定85分以上包括85分
为优秀,从这7名工人中抽取3名工人,记3名工人中理论成绩和实践能力值均为优秀的人数为X,求X的分布列和期望;
(3)根据下表数据,求实践能力值y关于理论成绩x的线性回归方程.系数精确到
附:线性回归方程中,
,
.
76 | 83 | 812 | 526 |
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【题目】圆周上有个点
,用弦两两连结起来,其中任何3条弦都不在圆内共点.现将由此形成的互补重叠的圆内区域的个数记为
.
(1).直接画图求出,
,
,
,
;
(2).确定的表达式.
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【题目】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求x和y的值;
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
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