Question

15．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是$\frac{1}{25}$，则cos²θ-sinθ²+2=（　　）

• A． $\frac{57}{25}$
• B． $\frac{24}{25}$
• C． -$\frac{57}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，先利用小正方形的面积求得∴（cosθ-sinθ）²的值，根据θ为直角三角形中较小的锐角，判断出cosθ＞sinθ，求得cosθ-sinθ的值，进而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．

解答 解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，
∵小正方形的面积是$\frac{1}{25}$，
∴（cosθ-sinθ）²=$\frac{1}{25}$，
又θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cosθ＞sinθ，
∴cosθ-sinθ=$\frac{1}{5}$，
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，
∴2cosθsinθ=$\frac{24}{25}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
即（cosθ+sinθ）²=$\frac{49}{25}$，
∴cosθ+sinθ=$\frac{7}{5}$，
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-$\frac{7}{25}$．
∴cos²θ-sin²θ+2=2+$\frac{7}{25}$=$\frac{57}{25}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力，属于中档题．