Question

3．在△ABC中，BC=$\sqrt{3}$，∠A=60°，则△ABC周长的最大值$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=2，因此△ABC周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin（120°-B）+$\sqrt{3}$，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴△ABC周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC，
=2sinB+2sin（120°-B）+$\sqrt{3}$
=2sinB+2$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$+$\sqrt{3}$
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin（B+30°）+$\sqrt{3}$，
∵0°＜B＜120°，
∴B+30°∈（30°，150°），
∴sin（B+30°）∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴△ABC周长≤3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．