Question

18．${（\sqrt{2x}+\frac{1}{x^2}）^n}$展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是720．

Answer 1

分析 由条件利用二项式系数的性质求得n=10，再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．

解答 解：由题意可得${C}_{n}^{5}$最大，故n=10，故${（\sqrt{2x}+\frac{1}{x^2}）^n}$=${（\sqrt{2x}+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{10}$，
它的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（\sqrt{2}）}^{10-r}$•${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，求得r=2，故展开式中的常数项是${C}_{10}^{2}$•${（\sqrt{2}）}^{8}$=720，
故答案为：720．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．