Question

13．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量．
（1）若|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3，试求|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，试求向量$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）直接把|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3两边平方，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，从而求出|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的值即可；
（2）利用平面向量的数量积运算求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，再求出|$\overrightarrow{m}$|，|$\overrightarrow{n}$|，代入数量积公式求得向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角即可．

解答 解：（1）∵|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，
∴9${\overrightarrow{a}}^{2}$-12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=9，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$，
∴${（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=10+6×$\frac{1}{3}$=12；
∴|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，
|$\overrightarrow{m}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5+4×1×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
|$\overrightarrow{n}$|=|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
故＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=arccos$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，考查计算能力，是中档题．