Question

5．△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，$\overrightarrow{m}$=（sinB，5sinA+5sinc）与$\overrightarrow{n}$=（5sinB-6sinC，sinC-sinA）垂直．（1）求sinA的值；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直得出恒等式，使用正弦定理将角化边得出a，b，c的关系，利用余弦定理求出A；
（2）使用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，从而得出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴sinB（5sinB-6sinC）+（5sinA+5sinC）（sinC-sinA）=0，
∴5b²-6bc+5（c²-a²）=0，即b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3}{5}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
（2）在△ABC中，∵b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$，∴b²+c²=$\frac{6bc}{5}+8$≥2bc，∴bc≤10．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{2}{5}$bc≤4．
∴△ABC的面积S的最大值是4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，正余弦定理，基本不等式，解三角形，属于中档题．