Question

已知双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的左、右顶点分别为A₁和A₂，M（x₁，-y₁）和N（x₁，y₁）是双曲线上两个不同的动点．
（1）求直线A₁M与A₂N交点Q的轨迹C的方程；
（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交轨迹C于A、B两点，
①求

OA

•

OB

的取值范围；
②若

AP

=λ

PB

，问在x轴上是否存在定点E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线A₁M与A₂N的交点为Q（x，y），由已知得y²=

-y12

x12-4

（x²-4），由此能求出直线A₁M与A₂N交点Q的轨迹C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出

OA

•

OB

的取值范围．
②设在x轴上存在点E（x₀，0），则

AP

=（1-x₃，-y₃），

PB

=(x4-1，y4)，由

AP

=λ

PB

，得λ=-

y3

y4

，由

OP

⊥(

EA

-λ

EB

)，得：

2

k

y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，由此推导出在x轴上存在定点E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

，E点坐标为E（4，0）．

解答： 解：（Ⅰ）设直线A₁M与A₂N的交点为Q（x，y），
∵A₁，A₂是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的左、右顶点，∴A₁（-2，0），A₂（2，0），
∵M（x₁，-y₁）和N（x₁，y₁）是双曲线上两个不同的动点．
∴直线A₁M：y=

-y1

x1+2

（x+2），直线A₂N：y=

y1

x1-2

(x-2)，
两式相减，得：y²=

-y12

x12-4

（x²-4），
而M（x₁，-y₁）在双曲线

x2

4

-

y2

3

=1上，
∴

x12

4

-

y12

3

=1，即x12-4=

4

3

y12，∴

x2

4

+

y2

3

=1
∴直线A₁M与A₂N交点Q的轨迹C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x3+x4=

8k2

3+4k2

，x3•x4=

4k2-12

3+4k2

，
∴y₃y₄=k（x₃-1）•k（x₄-1）=k²x₃x₄-k²（x₃+x₄）+k²，
从而

OA

•

OB

=x₃x₄+y₃y₄=（k²+1）x₃x₄-k²（x₃+x₄）+k²=-

5k2+12

4k2+3

，
令t=4k²+3，t≥3，则

OA

•

OB

=-（

5

4

+

33

4t

），
∵t≥3，∴0＜

1

t

≤

1

3

，

5

4

＜

5

4

+

33

4t

＜4，
∴-4≤-(

5

4

+

33

4t

)＜-

5

4

，
故

OA

•

OB

的取值范围是[-4，-

5

4

）．
②设在x轴上存在点E（x₀，0），则

AP

=（1-x₃，-y₃），

PB

=(x4-1，y4)，
∵

AP

=λ

PB

，∴-y₃=λy₄，∵y₄≠0，∴λ=-

y3

y4

，
∵

OP

=(1，0)，

EA

=(x3-x0，y3)，

EB

=(x4-x0，y4)，
∴

EA

-λ

EB

=（x₃-x₀-λx₄+λx₀，y₃-λy₄），
又∵

OP

⊥(

EA

-λ

EB

)，∴

OP

•(

EA

-λ

EB

)=0，
∴x₃-x₀-λx₄+λx₀=0，
将x3=

1

k

y3+1，x4=

1

k

y4+1，λ=-

y3

y4

代入上式，并整理，得：

2

k

y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，
当y₃+y₄≠0时，x0=

2y3y4

k(y3+y4)

+1=

2(-9k2)

k(-6k)

+1=4，
当y₃+y₄=0时，k=0不合题意，
∴在x轴上存在定点E，使得

OP

⊥

EA

-λ

EB

，E点坐标为E（4，0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量积的取值范围的求法，考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．