Question

已知椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，A，B是椭圆T上两点，N（3，1）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C，D两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）是否存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆过原点O？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆T：x²+3y²=a²（a＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-3）+1，联立消元，得到含有参数k的关于x的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程．
（2）根据直线CD垂直AB，求得CD直线方程，代入椭圆方程，整理得4x²-12x+12-a²=0．又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），假设存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆过原点O，则x₃x₄+y₃y₄=0，求的a的值，问题得以解决．

解答： 解：（1）离心率e=

6

3

，椭圆T：x²+3y²=a²（a＞0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-3）+1，代入x²+3y²=a²，
整理得 （3k²+1）x²-6k（3k-1）x+3（3k-1）²-a²=0．
①△=4[a²（3k²+1）-3（3k-1）²]＞0，②x1+x2=

6k(3k-1)

3k2+1

，由N（3，1）是线段AB的中点，得

x1+x2

2

=3．解得k=-1，代入②得，a²＞12，
直线AB的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-1=x-3，即x-y-2=0，
代入椭圆方程，整理得4x²-12x+12-a²=0．
又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴x3+x 4=3，x3x 4=

12-a2

4

，
y3y4=(x3-2)(x4-2)=

4-a2

4

假设存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆过原点O，则x₃x₄+y₃y₄=0
得a²=8，又a²＞12，
故不存在这样的椭圆．

点评：本题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，关键设点的坐标，利用方程的思想，属于中档题．