Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．
（1）若|AB|=

17

，求直线l的倾斜角；
（2）若点P（1，1），满足2

AP

=

PB

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l的倾斜角；
（2）设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），由题意2

AP

=

PB

，可得2x₁+x₂=3． ①再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C，化简可得x₁+x₂=

2m2

1+m2

②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程．

解答： 解：（1）由于半径r=

5

，|AB|=

17

，∴弦心距d=

3

2

，
再由点到直线的距离公式可得d=

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，
解得m=±

3

．
故直线的斜率等于±

3

，故直线的倾斜角等于

π

3

或

2π

3

．
（2）设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），
由题意2

AP

=

PB

，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即2x₁+x₂=3． ①
再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C：x²+（y-1）²=5，化简可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根与系数的关系可得x₁+x₂=

2m2

1+m2

②．
由①②解得x₁=

3+m2

1+m2

，故点A的坐标为（

3+m2

1+m2

，

1+2m+m2

1+m2

）．
把点A的坐标代入圆C的方程可得m²=1，故m=±1，
故直线L的方程为x-y=0，或x+y-2=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．