Question

已知a，b是实数，函数f（x）=3x²+a，g（x）=2x+b，若f（x）•g（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上为“Ω函数”．
（Ⅰ）设a＞0，若f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上为“Ω函数”，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）设a＜0且a≠b，若f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上为“Ω函数”，求|a-b|的最大值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用已知条件f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上为“Ω函数”，转化不等式恒成立问题为函数的最大值问题，即可求实数b的取值范围；
（Ⅱ）通过b＜a、a＜b＜0、a＜0＜b、a＜0=b，利用f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上为“Ω函数”，分别转化不等式求出b，a的范围，然后求|a-b|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上为“Ω函数”，所以f（x）•g（x）≥0，
在区间[-1，+∞）上恒成立．即x∈[-1，+∞），（3x²+a）（2x+b）≥0，
∵a＞0，∴3x²+a＞0，∴2x+b≥0，即b≥-2x，∴b≥（-2x）_max，∴b≥2．
实数b的取值范围：[2，+∞）；
（Ⅱ）①当b＜a时，∵f（x）和g（x）在（b，a）上为“Ω函数”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（b，a）上恒成立，即x∈（b，a），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＜a＜0，∴?x∈（b，a），2x+b＜0，∴?x∈（b，a），a≤-3x²，∴b＜a≤-3b²，
∴a-b≤-3b²-b=-3（b+

1

6

）²+

1

12

≤

1

12

．
②当a＜b＜0时，
∵f（x）和g（x）在（a，b）上为“Ω函数”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（a，b）上恒成立，即x∈（a，b），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＜0，∴?x∈（a，b），2x+b＜0，∴?x∈（a，b），a≤-3x²，∴a≤-3a²，∴-

1

3

≤a≤0，
∴b-a＜

1

3

．
③．当a＜0＜b时，∵f（x）和g（x）在（a，b）上为“Ω函数”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（a，b）上恒成立，即x∈（a，b），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＞0，而x=0时，（3x²+a）（2x+b）=ab＜0，不符合题意．
④当a＜0=b时，由题意x∈（a，0），（3x²+a）2x≥0，恒成立，
∴3x²+a≤0，∴-

1

3

≤a＜0，∴b-a≤

1

3

，
综上可知|a-b|的最大值为

1

3

．

点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的恒成立问题的求解，本题思路灵活，解法巧妙，注意体会掌握．