Question

给出如下五个结论：
①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．
②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0
③函数y=2x³-3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称
④y=cos2x+sin（

π

2

-x）既有最大、最小值，又是偶函数
⑤y=|sin（2x+

π

4

）|最小正周期为π
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,三角函数的图像与性质

分析：若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，即可判断①；由y=cosx的减区间，结合正弦函数的图象，即可判断②；计算f（x）+f（-x），即可判断③；运用二倍角公式，化简整理，再由余弦函数奇偶性和值域和二次函数的最值求法，即可判断④；运用周期函数的定义，计算f（x+

π

2

），即可判断⑤．

解答： 解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；
对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；
对于③，由f（x）+f（-x）=2x³-3x+1-2x³+3x+1=2，则函数y=2x³-3x+1的图象
关于点（0，1）成中心对称，即③对；
对于④，y=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2（cosx+

1

4

）²-

9

8

，
由于cosx∈[-1，1]，则cosx=-

1

4

时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，
且为偶函数，即④对；
对于⑤，由f（x+

π

2

）=|sin（2x+π++

π

4

）|=|sin（2x+

π

4

）|=f（x），则最小正周期为

π

2

，即⑤错．
故答案为：③④．

点评：本题考查正弦函数和余弦函数的单调性和值域，考查周期函数的定义及运用，考查函数的对称性以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．