Question

已知函数f（x）=x²-x-1，g（x）=x³-x²-5x+m，若存在x₁∈（-2，2）使得f（x₁）≤g（x₁）成立，求m取值范围．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：原题等价于在x∈（-2，2）内，f（x）_max≤g（x）_min，利用二次函数性质求出在x∈（-2，2）内，当x→-2时，f（x）_max→f（-2）=（-2-

1

2

）²-

5

4

=5．利用导数性质求出在（-2，2）内g（x）_min=g（

5

3

）=

125

27

-

25

9

+m=m+

50

27

，由f（x）_max≤g（x）_min，能求出m取值范围．

解答： 解：若存在x₁∈（-2，2）使得f（x₁）≤g（x₁）成立，
则在x∈（-2，2）内，f（x）_max≤g（x）_min，
∵f（x）=x²-x-1=（x-

1

2

）²-

5

4

，
∴在x∈（-2，2）内，当x=

1

2

时，f（x）_min=-

5

4

，
当x→-2时，f（x）_max→f（-2）=（-2-

1

2

）²-

5

4

=5．
∵g（x）=x³-x²-5x+m，
∴g′（x）=3x²-2x-5，
由g′（x）=0，得x1=

5

3

，x₂=-1，
当x∈（-2，-1）时，g′（x）＞0；当x∈（-1，

5

3

）时，g¹（x）＜0；
当x∈（

5

3

，2）时，g′（x）＞0．
∴在（-2，2）内g（x）_min=g（

5

3

）=

125

27

-

25

9

+m=m+

50

27

，
∵f（x）_max≤g（x）_min，
∴5＜m+

50

27

，解得m＞

85

27

．
故m取值范围是（

85

27

，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意二次函数性质、导数性质、等价转化思想的合理运用．