Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程
（Ⅱ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论t的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（2分）
所以f'（1）=0，又f（1）=e，
所以函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=e．…（5分）
（II）由$f（x）=\frac{e^x}{x}$，得f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，0），（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
x=1为f（x）的极小值点．…（7分）
当t≥1时，f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴f（x）_min=f（t）=$\frac{{e}^{t}}{t}$，f（x）_max=f（t+1）=$\frac{{e}^{t+1}}{t+1}$；
当9＜t＜1时，t+1＞1，
∴f（x） 在（t，1）单调递减，在（1，t+1）单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=e，
综上所述，当t≥1时，$f{（x）_{min}}=f（t）=\frac{e^t}{t}$；
当0＜t＜1时，f（x）_min=f（1）=e．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程，是一道中档题．