Question

4．观察下列等式：
-1=-1；
-1+3=2；
-1+3-5=-3；
-1+3-5+7=4；
…
（1）照此规律，归纳猜想出第n个等式
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿ•n．
（2）先证明n=1时，等式成立，假设n=k时，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^k•k，在此基础上利用假设证明n=k+1时，等式也成立，从而得到等式对任意的n∈N^*均成立．

解答 解：（1）观察等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，…
可得-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿ•n．
（2）证明：①n=1时，左式=右式=-1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^k•k，
则当n=k+1时，
左式=-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k+1（-k+2k+1）
=（-1）^k+1（k+1）=右式，
即n=k+1时，等式成立．
根据①，②，等式对任意的n∈N^*均成立．

点评 本题主要考查归纳推理，用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，式子的变形是解题的关键．