Question

20．已知函数f（x）=log₂（x-m），其中m∈R．
（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出m=x-1，关于x的范围，求出m的范围即可；
（2）根据函数的单调性求出f（t）最大，f（1）最小，作差求出t=4-3m，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由log₂（x-m）=0，得m=x-1，
由2＜x＜3得：1＜x-1＜2，
故m的范围是（1，2）；
（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，
∴f（t）-f（1）=2，
∴log₂（t-m）-log₂（1-m）=2，
∴log₂$\frac{t-m}{1-m}$=log₂4，
∴t=4-3m，
由f（t）＞0，得t＞m+1，
∴4-3m＞m+1，
解得：m＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．