Question

5．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N^*）个点，相应的图案中总的点数记为a_n，则$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2016}{a}_{2017}}$=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2015}$

Answer 1

分析 根据题意，可得a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a_n=3（n-1）（n≥2）；所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：根据分析，可得
a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），
a₅=12=3×（5-1）…，a_n=3（n-1），
数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a_n=3（n-1）（n≥2）；
所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
则$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2016}{a}_{2017}}$=9×$\frac{1}{9}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了图形的变化规律，数列的求和方法：裂项相消求和，解答此题的关键是根据已知的图形中点数的变化推得a_n=3（n-1）（n≥2）．