Question

3．已知f（x）为一元二次函数，且f（x）满足条件f（x+1）+f（x-1）=2x²-4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，4]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，得到f（1+x）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4，利用系数对应相等，求出a，b，c的值即可；
（2）利用f（x）=x²-3，即可求x∈[-1，4]时，f（x）的值域．．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∴f（1+x）+f（x-1）
=a（1+x）²+b（1+x）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c
=2ax²+2bx+2a+2c
=2x²-4，
∴a=1，b=0，c=-3，
∴f（x）=x²-3；
（2）当x∈[-1，4]时，f（x）的值域为[-3，13]．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法，考查求函数的值域问题，是一道基础题．