Question

12．函数f（x）=$\sqrt{\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}}$的定义域为{x|x≠0}，值域为[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 容易看出3x²+2x+1＞0恒成立，从而定义域为{x|x≠0}，可设$y=\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}$，然后可整理成关于x的方程的形式：（y-3）x²-2x-1=0，方程有解，y=3时，容易判断满足方程有解；y≠3时，根据△≥0即可得出y的范围，从而得出$\sqrt{y}$的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：$3{x}^{2}+2x+1=3（x+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{2}{3}$＞0；
∴f（x）的定义域为{x|x≠0}；
设y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}$；
∴yx²=3x²+2x+1；
整理成：（y-3）x²-2x-1=0，看成关于x的方程，方程有解；
①y=3时，-2x-1=0，∴$x=-\frac{1}{2}$，满足方程有解；
②y≠3时，则：△=4+4（y-3）≥0；
∴y≥2；
∴$\sqrt{y}≥\sqrt{2}$；
∴$f（x）≥\sqrt{2}$；
∴函数f（x）的值域为[$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案为：{x|x≠0}，$[\sqrt{2}，+∞）$．

点评 考查函数定义域、值域的概念及其求法，求形如y=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的值域的方法：整理成关于x的方程的形式，根据方程有解求，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．