【题目】如图①:在平行四边形中,
,
,将
沿对角线
折起,使
,连结
,得到如图②所示三棱锥
.
(1)证明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明,从而证明
平面
,进而得出
,即可证
平面
.最后证得
平面
.
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,由(1)知
平面
,
因为平面
,所以
,
又,所以
即为二面角
的平面角,得
,从而求出
,
,建立空间直角坐标系,求平面
的法向量为
,
最后根据公式,即得直线
与平面
所成角大小.
(1)证明:在平行四边形中,
,
则.
在三棱锥中,因为
,
.
所以平面
,所以
.
又,
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
因为,
,所以
平面
.
(2)解:由(1)知平面
,
因为平面
,所以
,
又,所以
即为二面角
的平面角,即
.
因为平面
,
平面
.
所以,故
,
又.所以
.
在平行四边形,
,
,
所以与
为相似三角形,则
,
故(
),解得
,
故,解得
,
所以,
.
过点作
,以
为坐标原点,
,
,
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
则,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
则
令,得
.
设直线与平面
所成角为
,
即直线与平面
所成角为
.
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【题目】已知椭圆过点
,且其离心率为
,过坐标原点
作两条互相垂直的射线与椭圆
分别相交于
,
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆:
的离心率为
,椭圆
上一点
到左右两个焦点
、
的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆
交于
、
两点,且两点与左右顶点不重合,若
,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知x与y之间的几组数据如表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | m | n | 4 |
如表数据中y的平均值为2.5,若某同学对m赋了三个值分别为1.5,2,2.5,得到三条线性回归直线方程分别为,
,
,对应的相关系数分别为
,
,
,下列结论中错误的是( )
参考公式:线性回归方程中,其中
,
.相关系数
.
A.三条回归直线有共同交点B.相关系数中,最大
C.D.
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【题目】已知a,b,c均为正数,设函数f(x)=|x﹣b|﹣|x+c|+a,x∈R.
(1)若a=2b=2c=2,求不等式f(x)<3的解集;
(2)若函数f(x)的最大值为1,证明:.
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【题目】现有边长均为1的正方形正五边形正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为,
,
,
,则( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到如图折线图.
下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( )
A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为32万元
B.根据甲门店的营业额折线图可知,该门店营业额的平均值在[20,25]内
C.根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势
D.乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元
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【题目】某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况,对本小区业主进行了调查,调查中问了两个问题1:你的手机尾号是不是奇数?问题2:你是否满意物业的服务?调查者设计了一个随机化装置,其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球,每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同,其中摸到白球的业主回答第一个问题,摸到红球的业主回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”,而且回答的是哪个问题别人并不知道,因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷,且有47名业主回答了“是”,由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为( )
A.85%B.75%C.63.5%D.67.5%
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【题目】2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发,一方有难八方支援,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,某医院抽调甲、乙两名医生,抽调、
、
三名护士支援武汉第一医院与第二医院,参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院,其它都在第二医院工作,则医生甲和护士
被选在第一医院工作的概率为( )
A.B.
C.
D.
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