Question

【题目】已知a，b，c均为正数，设函数f（x）＝|x﹣b|﹣|x+c|+a，x∈R．

（1）若a＝2b＝2c＝2，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若函数f（x）的最大值为1，证明：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）根据a＝2b＝2c＝2时，将不等式f（x）＜3化为|x﹣1|﹣|x+1|＜1，然后利用零点分段法解不等式即可；

（2）根据条件利用绝对值三角不等式，可得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式，即可证明．

（1）当a＝2b＝2c＝2时，a＝2，b＝c＝1

不等式f（x）＜3化为|x﹣1|﹣|x+1|＜1，

当x≤﹣1时，原不等式化为1﹣x+1+x＜1，解集为；

当﹣1＜x＜1时，原不等式化为1﹣x﹣x﹣1＜1，解得；

当x≥1时，原不等式化为x﹣1﹣x﹣1＜1，解得x≥1，

∴不等式f（x）＜3的解集为．

（2）∵

又∵a，b，c＞0，

∴

∴

当且仅当，即时等号成立，

∴．