Question

15．已知函数f（x）=|x+1|．
（1）求不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集；
（2）若函数y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知不等式x•f（x）＞f（x-2），得x|x+1|＞|x-1|，分类讨论求不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集；
（2）若函数y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域为R，只要g（x）=|x-2|+|x+1|+a能取到所有的正数，所以只需g/（x）的最小值小于或等于0，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由已知不等式x•f（x）＞f（x-2），得x|x+1|＞|x-1|，所以显然x＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤1}\\{{x}^{2}+2x-1＞0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}＞-1}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{2}$-1＜x≤1或x＞1，所以不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集为（$\sqrt{2}$-1，+∞）． …（5分）
（2）要函数y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域为R，
只要g（x）=|x-2|+|x+1|+a能取到所有的正数，所以只需g/（x）的最小值小于或等于0，
又g（x）≥|x-2-x-1|+a=3+a，所以只需3+a≤0，即a≤-3，
所以实数a的取值范围是a≤-3．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．