Question

20．已知三棱锥S-ABC的体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$，底面△ABC是边长为1的正三角形，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱SC是球O的直径，则球O的表面积为4π．

Answer 1

分析 根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

解答 设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
作SD⊥平面ABC交CO₁的延长线与D．$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高SD=2OO₁，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴V_{三棱锥S-ABC=}$\frac{1}{3}×2\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴R=1．则球O的表面积为4π，
故答案为：4π．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离，属于中档题