Question

9．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：由题意知f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故（1，+∞）是g（x）的单调增区间．
因此，x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g（x）的最小值为g（1）=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．