Question

求下列函数的最值．
（1）已知x＞0，求y=2-x-

4

x

的最大值；
（2）已知x＞2，求y=x+

1

x-2

的最小值；
（3）已知0＜x＜

1

2

，求y=

1

2

x(1-2x)的最大值．

Answer 1

分析：首先分析题中的函数表达式，有x+

a

x

的形式考虑到可以用基本不等式a+b≥2

ab

来求解，需要把题中的函数化简，再应用基本不等式求解，即可得到答案．

解答：解：（1）∵x＞0，
∴x+

x

4

≥4，
∴y=2-(x+

4

x

)≤2-4=-2，
∴当且仅当x=

4

x

(x＞0)，即x=2时，y_max=-2．
（2）∵x＞2，x-2＞0，而y=x+

1

x-2

=x-2+

1

x-2

+2≥2

(x-2) 1 x-2 +2=4

，
当且仅当x-2=

1

x-2

(x＞2)，x=3时，y_min=4．
（3）∵0＜x＜

1

2

，
∴1-2x＞0，则y=

1

4

×2×(1-2x)≤

1

4

(

2x+1-2x

2

)2=

1

4

×

1

4

=16，
当且仅当x=2x=1-2x，即x=

1

4

时，y_max=

1

16

．

点评：此题主要考查求函数极值问题，在做题的时候不能只考虑研究函数图象的方式求最值，需要多分析题目，对于特殊的函数可以用基本不等式直接求得极值．