Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+3b-2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（-$\frac{2}{5}$，6-2$\sqrt{7}$）∪[-2，-$\frac{7}{6}$）．

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$的图象，从而可得x²+bx+3b-2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$的图象如下，
，
∵关于x的方程f²（x）+bf（x）+3b-2=0有4个不同的实数根，
∴x²+bx+3b-2=0有2个不同的实数根，
令g（x）=x²+bx+3b-2，
若2个不同的实数根都在[-2，2）上，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{b}{2}＜2}\\{△＞0}\\{g（-2）≥0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{2}{5}$＜b＜6-2$\sqrt{7}$，
若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，
则$\left\{\begin{array}{l}{3＜-\frac{b}{2}}\\{△＞0}\\{g（3）=9+3b+3b-2＞0}\end{array}\right.$，
无解；
若分别在[-2，2），（3，+∞）上，
令g（x）=x²+bx+3b-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=4-2b+3b-2≥0}\\{g（2）=4+2b+3b-2＜0}\\{g（3）=9+3b+3b-2＜0}\end{array}\right.$，
解得，-2≤b＜-$\frac{7}{6}$；
故答案为：（-$\frac{2}{5}$，6-2$\sqrt{7}$）∪[-2，-$\frac{7}{6}$）．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．