Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点$（-\frac{π}{12}，0）$到其相邻的一条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．若$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，则函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域为（　　）

• A． [-1，2]
• B． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$
• D． $[-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$

Answer 1

分析 求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点$（-\frac{π}{12}，0）$到其相邻的一条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，
∴函数的周期是π，ω=2，
由f（-$\frac{π}{12}$）=0，$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{Asin[2（-\frac{π}{12}）+φ]=0}\\{Asin[2•\frac{π}{12}+φ]=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得A=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}$π]，
显然x=$\frac{π}{6}$时，f（x）最大，x=$\frac{π}{2}$时，f（x）最小，
则函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
故选：C．

点评 本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．