Question

20．已知x，y∈R⁺，满足x²+2xy+2y²=1，记x，y中较大者为M，则M的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 x²+2xy+2y²=1，可得（x+y）²=1-y²≥0，解得0＜y≤1．x=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$．令x-y=t，可得：t=-2y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵x²+2xy+2y²=1，∴（x+y）²=1-y²≥0，解得0＜y≤1．
∴x=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$．令x-y=t，
则y+t=-y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$．
t=-2y+$\sqrt{1-{y}^{2}}$．
t′=-2+$\frac{-2y}{2\sqrt{1-{y}^{2}}}$=-2-$\frac{y}{\sqrt{1-{y}^{2}}}$＜0，
∴t在（0，1]上单调递减，
∴-2≤t＜1．
当$0＜y≤\frac{\sqrt{5}}{5}$时，0≤t＜1，此时x≥y，M=x；
当$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜y≤1时，-2≤t＜0，此时x＜y，M=y．
综上可得：M的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．