Question

4．已知函数$f（x）=\sqrt{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）（ω＞0）$的最小正周期为π，下列四个判断：
（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最小值为-1；
（2）函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{8}$对称；
（3）函数f（x）的图象可由$y=\sqrt{2}cos2x$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度得到；
（4）函数f（x）在区间$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是减函数．
以上正确判断的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出ω的值，求出f（x）的表达式，根据三角函数的性质分别判断即可．

解答 解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$时，
函数f（x）取得最小值$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
故（1）正确；
（2）∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
对称轴x=kπ+$\frac{π}{2}$=2x+$\frac{π}{4}$，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
故函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{8}$对称，
故（2）正确；
（3）f（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）]是由函数y=$\sqrt{2}$sin2x向左平移$\frac{π}{8}$个单位得到，
故（3）错误；
（4）由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，
得：kπ+$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函数f（x）在区间$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是减函数，
故（4）正确；
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．