Question

当a＞0时，函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函数，用反证法证明方程a^x+

x-2

x+1

=0没有负数根．

Answer 1

分析：假设f（x）=0 有负根 x₀，即 f（x₀）=0，根据f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由条件可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，这也与①矛盾．

解答：证明：假设f（x）=0 有负根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根据f（0）=1+

0-2

1+0

=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函数，可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾．
若x₀＜-1，则 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，这也与①矛盾．
故假设不正确．∴方程 a^x+

x-2

x+1

=0 没有负根．

点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．