Question

为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌．经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．
（1）问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；
（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．
（参考数据：，，，）

Answer 1

（1）万辆．  （2）至少需要8年时间才能实现目标．

本试题主要是考查了数列在实际生活中的运用，借助于等比数列的概念，和等比数列的通项公式来表示机动车保有量，然后借助于不等式的相关知识，求解对数不等式，得到结论。
（1）首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量的递推关系，然后结合数列的性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式
（2）在第一问的基础上，解关于n的不等式，进而估算法得到结论
（1）设2012年年初机动车保有量为万辆，以后各年年初机动车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增机动车10万辆，则，．              
又，且，
∴ 数列是以为首项，为公比的等比数列．…… …… …… 4分
∴ ，即．
∴2016年初机动车保有量为万辆．    …… …… 8分
（2）由题可知， ，即 ，
∴ ，故至少需要8年时间才能实现目标