Question

5．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量
m（件）与时间t（天）的关系如表所示．

时间t/天	1	3	6	10	36	…
日销售量 m/件	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系为y₂=$\frac{1}{2}$t+40（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题．
（1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些 数据的m（件）与t（天）的关系式．
（2）试预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售1件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过观察表格可知m与t是一次函数关系，设函数关系式为m=kt+b，代入计算即得结论；
（2）通过设日销售利润为W元，分1≤t≤20、21≤t≤40两种情况讨论，利用“销售利润=销售收入-成本”分别计算出前20天、后20天中的最大日获利润，比较即得结论；
（3）通过写出扣除捐赠后每天的日销售利润W=-$\frac{1}{2}$t²+（14+2a）t+480-96a，结合W随t的增大而增大可知函数W的图象的对称轴t=14+2a≥20，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的，
∴确定m与t是一次函数关系，设函数关系式为：m=kt+b，
∵当t=1，m=94；当t=3，m=90，
∴$\left\{\begin{array}{l}{94=k+b}\\{90=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m=-2t+96（1≤t≤40，且t为整数）；
（2）设日销售利润为W元，当1≤t≤20时，
W=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=-$\frac{1}{2}$（t-14）²+578（1≤t≤20），
于是当x=14时，W有最大值578元；
当21≤t≤40时，W=（-2t+96）（$\frac{1}{2}$t+40-20）=（t-44）²-16（21≤t≤40），
根据二次函数的相关性质可知：
当t=21时W有最大值513元；
综上所述，当t=14时日获利润最大，且为578元；
（3）W=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20-a）=-$\frac{1}{2}$t²+（14+2a）t+480-96a，
则函数W的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，且t为整数，W随t的增大而增大，
∴t=14+2a≥20，
解得：a≥3，
又∵a＜4，
∴a的取值范围是[3，4）．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．