Question

15．设f（x）=$\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+n}}$（m＞0，n＞0）．
（1）若f（x）是奇函数，求m与n的值；
（2）在（1）的条件下，求不等式$f[{f（x）}]+f（\frac{1}{4}）＜0$的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是奇函数，可得f（0）=0，求得m=1．再根据f（-1）=-f（1），求得n=2，检验满足条件．
（2）利用导数可得f（x）是R上单调减函数．由$f[{f（x）}]+f（\frac{1}{4}）＜0$，得$f[{f（x）}]＜f（-\frac{1}{4}）$，即$f（x）＞-\frac{1}{4}$，从而求得2^x＜3，解得x的范围．

解答 解：（1）f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x），依题意，f（x）的定义域是R，
所以f（0）=0，即$\frac{-1+m}{2+n}=0$，解得m=1，
又f（-1）=-f（1），即$\frac{{-\frac{1}{2}+1}}{1+n}=\frac{-2+1}{4+a}$，解得n=2，
所以，m=1，n=2．经检验，满足f（-x）=-f（x）．
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，再根据 ${f^'}（x）=\frac{{-{2^x}ln2}}{{{{（{2^x}+1）}^2}}}＜0$，
可得f（x）是R上单调减函数．
由$f[{f（x）}]+f（\frac{1}{4}）＜0$，得$f[{f（x）}]＜f（-\frac{1}{4}）$
即$f（x）＞-\frac{1}{4}$，从而$-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}＞-\frac{1}{4}$，得2^x＜3，解得x＜log₂3，
即$f[{f（x）}]+f（\frac{1}{4}）＜0$的解集为{x{x＜log₂3}．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．