Question

20．已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的方程f（x）=（a-1）•4^x．

Answer 1

分析 （1）由解析式令log₂x=t即x=2^t，代入解析式化简求出f（t），将t化为x可得f（x）的解析式；
（2）由（1）化简f（x）=（a-1）•4^x，根据指数函数的性质分类讨论，分别由指对互化的式子求出x的表达式．

解答 解：（1）令log₂x=t即x=2^t，则f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R
（2）由f（x）=（a-1）•4^x得：a•2^2x-2•2^x+1-a=（a-1）•4^x，
化简得，2^2x-2•2^x+1-a=0，即（2^x-1）²=a，
当a＜0时，方程无解；
当a≥0时，解得${2^x}=1±\sqrt{a}$，
所以若0≤a＜1，则$x={log_2}（1±\sqrt{a}）$，
若a≥1，则$x={log_2}（1+\sqrt{a}）$．

点评 本题考查利用换元法求函数的解析式，指对互化、指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．