Question

8．已知A，B，C是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的三个点，AB过原点，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且
|BF|=|CF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，由双曲线的定义可得FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，分别在直角△ACF′和FAF′中，运用勾股定理，计算即可得到a，b的关系，进而得到渐近线方程．

解答 解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，
由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，
可得四边形AFBF′为矩形，
设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，
（m+2a）²+（2a+2m）²=（m+4a）²，解得m=a，在直角△FAF′中，
AF²+AF′²=FF′²，即a²+（3a）²=（2c）²，
即4c²=10a²，即c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查勾股定理的运用，运算求解能力，属于中档题．