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    【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）直线过点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.

    【答案】（1）；（2）3.

    【解析】

    （1）由的周长为8，可知,结合离心率为，可求出，，，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于的一元二次方程，由三角形的面积公式可知，结合根与系数关系可得到的表达式，求出最大值即可。

    （1）由题意知, ,则,

    由椭圆离心率,则,,

    则椭圆的方程.

    （2）由题意知直线的斜率不为0，

    设直线的方程为，，，

    则 ，

    所以，

    令，则，所以，

    而在上单调递增，则的最小值为4，

    所以，

    当时取等号，即当时，的面积最大值为3.

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