Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ex-e-x．

（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断此函数的单调性（不需要证明）；

（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）（-∞，-2）.

【解析】

（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；

（2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；

（3）根据题意，由（1）（2）的结论，可以将原不等式转化为2x-1＜3，解不等式即可得到答案。

解：（1）根据题意，函数f（x）=x3+ex-e-x，定义域为，

则f（-x）=（-x）3+e-x-ex=-（x3+ex-e-x）=-f（x），

则函数f（x）为奇函数；

（2）f（x）=x3+ex-e-x在R上为增函数；

（3）由（1）（2）的结论，f（x）=x3+ex-e-x是奇函数且在R上为增函数；

f（2x-1）+f（-3）＜0f（2x-1）＜-f（-3）f（2x-1）＜f（3）2x-1＜3，

解可得x＜2，

即不等式的解集为（-∞，-2）．