Question

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项an；

(2)若数列{bn}满足bn＝(3n－1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

 

Answer 1

（1）（2）－1＜λ＜2

【解析】(1)由题知，＋1，

∴＋＝3，

∴＋＝·3n－1＝，∴an＝.

(2)由(1)知，bn＝(3n－1)·＝n· n－1，

Tn＝1×1＋2× 1＋3× 2＋…＋n· n－1，

Tn＝1×＋2× 2＋…＋(n－1) n－1＋n n，

两式相减得，

Tn＝1＋＋＝2－，∴Tn＝4－.

∵Tn＋1－Tn＝＞0，

∴|Tn|为递增数列．

①当n为正奇数时，－λ＜Tn对一切正奇数成立，

∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；

②当n为正偶数时，λ＜Tn对一切正偶数成立，

∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.

综合①②知，－1＜λ＜2.