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如图,四面体ABCD中,ABCDBC都是边长为4的正三角形.

(1)求证:BCAD

(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,请说明理由.

 

1)见解析(2最大值为8,此时棱长AD2.

【解析】(1)证明:取BC的中点E,连结AEDE

∵△ABCDBC都是边长为4的正三角形,

AEBCDEBC.

AEDEE

BC平面AEDAD?平面AEDBCAD.

(2)由已知得,AED为等腰三角形,且AEED2

ADxF为棱AD的中点,

EFSAED

VSAED·(BECE) (0x4)

x224,即x2时,Vmax8

该四面体存在最大值,最大值为8,此时棱长AD2.

 

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sin215°cos215°sin 15°cos 15°

sin218°cos212°sin 18°cos 12°

sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°

sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.

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