Question

9．过抛物线y²=4x交点F的直线，交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂＞0，y₁＞0，y₂＜0）两点，$|{AB}|=\frac{25}{4}$．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线方程为y=k（x-1），与抛物线方程构成方程组，根据韦达定理，和抛物线的定义，得到|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{25}{4}$，求出k，即可得到直线方程，
（2）先求出A，B的坐标，再设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法解得即可．

解答 解：抛物线y²=4x的准线方程为x=1，由抛物线的定义，得到|AB|=x₁+x₂+2，
设直线AB：y=k（x-1），而k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，（x₁＞x₂＞0，y₁＞0，y₂＜0），
∴k＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得到k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$+2=$\frac{25}{4}$，
解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直线方程为y=$\frac{4}{3}$（x-1），即4x-3y-4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y-4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得到A（4，4），B（$\frac{1}{4}$，-1），
设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则
$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{16+16+4D+4E+F=0}\\{\frac{1}{16}+1+\frac{1}{4}D-E+F=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-\frac{29}{4}}\\{E=-\frac{3}{4}}\\{F=0}\end{array}\right.$，
故△ABC的外接圆方程为x²+y²-$\frac{29}{4}$x-$\frac{3}{4}$y=0

点评 本题考查抛物线的简单性质，直线和抛物线的交点的距离，圆的一般方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．